Question

已知数列A_n：a₁，a₂，…，a_n．如果数列B_n：b₁，b₂，…，b_n满足b₁=a_n，b_k=a_k-1+a_k-b_k-1，其中k=2，3，…，n，则称B_n为A_n的“衍生数列”．
（Ⅰ）写出数列A₄：2，1，4，5的“衍生数列”B₄；
（Ⅱ）若n为偶数，且A_n的“衍生数列”是B_n，证明：b_n=a₁；
（Ⅲ）若n为奇数，且A_n的“衍生数列”是B_n，B_n的“衍生数列”是C_n，…．依次将数列A_n，B_n，C_n，…的首项取出，构成数列Ω：a₁，b₁，c₁，…．证明：Ω是等差数列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据“衍生数列”的定义可得 B₄：5，-2，7，2．
（Ⅱ）证明：因为 b₁=a_n，b₁+b₂=a₁+a₂，b₂+b₃=a₂+a₃，…b_n-1+b_n=a_n-1+a_n，由于n为偶数，将上述n个等式中的第2，4，6，…，n这

n

2

个式子都乘以-1，
相加可得-b_n=-a₁，故 b_n=a₁．
（Ⅲ）因为 b₁=a_n，b₁+b₂=a₁+a₂，b₂+b₃=a₂+a₃，…b_n-1+b_n=a_n-1+a_n，由于n为奇数，将上述n个等式中的第2，4，6，…，n-1这

n-1

2

个式子都乘以-1，
相加得b_n=a_n-a₁+a_n=2a_n-a₁．设数列B_n的“衍生数列”为C_n，因为 b₁=a_n，c₁=b_n=2a_n-a₁，所以 2b₁=a₁+c₁，即a₁，b₁，c₁成等差数列，同理证其它，
由此可得结论．

解答：解：（Ⅰ）B₄：5，-2，7，2．…（3分）
（Ⅱ）证明：因为 b₁=a_n，b₁+b₂=a₁+a₂，b₂+b₃=a₂+a₃，
…b_n-1+b_n=a_n-1+a_n，
由于n为偶数，将上述n个等式中的第2，4，6，…，n这

n

2

个式子都乘以-1，
相加得b₁-（b₁+b₂）+（b₂+b₃）-…-（b_n-1+b_n）=a_n-（a₁+a₂）+（a₂+a₃）-…-（a_n-1+a_n），
即-b_n=-a₁，b_n=a₁．…（8分）
（Ⅲ）证明：对于数列A_n及其“衍生数列”B_n，因为 b₁=a_n，b₁+b₂=a₁+a₂，b₂+b₃=a₂+a₃，…b_n-1+b_n=a_n-1+a_n，
由于n为奇数，将上述n个等式中的第2，4，6，…，n-1这

n-1

2

个式子都乘以-1，
相加得b₁-（b₁+b₂）+（b₂+b₃）-…+（b_n-1+b_n）=a_n-（a₁+a₂）+（a₂+a₃）-…+（a_n-1+a_n）即b_n=a_n-a₁+a_n=2a_n-a₁．
设数列B_n的“衍生数列”为C_n，因为 b₁=a_n，c₁=b_n=2a_n-a₁，
所以 2b₁=a₁+c₁，即a₁，b₁，c₁成等差数列．…（12分）
同理可证，b₁，c₁，d₁；c₁，d₁，e₁，…也成等差数列．
从而Ω是等差数列．…（13分）

点评：本题主要考查新定义，等差数列的定义和性质应用，式子的变形是解题的难点，属于难题．