（05年湖北卷）（12分）
设A、B是椭圆
上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
（Ⅰ）确定
的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.
（此题不要求在答题卡上画图）
解析：（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB的方程为
，整理得 
①
设
是方程①的两个不同的根，
∴
②
且
由N（1，3）是线段AB的中点，得
解得k=－1，代入②得，
的取值范围是（12，+∞）.
于是，直线AB的方程为
解法2：设
则有
依题意，
∵N（1，3）是AB的中点， ∴
又由N（1，3）在椭圆内，∴
∴
的取值范围是（12，+∞）.
直线AB的方程为y－3=－（x－1），即x+y－4=0.
（Ⅱ）解法1：∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－3=x－1，即x－y+2=0，
代入椭圆方程，整理得 
又设
CD的中点为
是方程③的两根，
∴
于是由弦长公式可得 
④
将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程得
⑤
同理可得 
⑥
∵当
时，
假设存在>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.
点M到直线AB的距离为 
⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故当>12时，A、B、C、D四点匀在以M为圆心，
为半径的圆上.
（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）
A、B、C、D共圆
△ACD为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN|?|DN|，
即 
⑧
由⑥式知，⑧式左边
由④和⑦知，⑧式右边
∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆.
解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12,
∵CD垂直平分AB， ∴直线CD方程为
，代入椭圆方程，整理得
③
将直线AB的方程x+y－4=0，代入椭圆方程，整理得
⑤
解③和⑤式可得 
不妨设
∴
计算可得
，∴A在以CD为直径的圆上.
又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.
（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
（09年江苏百校样本分析）（10分）挑选空军飞行学员可以说是“万里挑一”，要想通过需过“五关”――目测、初检、复检、文考、政审等. 某校甲、乙、丙三个同学都顺利通过了前两关，有望成为光荣的空军飞行学员. 根据分析，甲、乙、丙三个同学能通过复检关的概率分别是0.5，0.6，0.75，能通过文考关的概率分别是0.6，0.5，0.4，通过政审关的概率均为1．后三关相互独立．
（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过复检的概率；
（2）设通过最后三关后，能被录取的人数为
，求随机变量的期望
．
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科目：高中数学 来源： 题型：
(08年莆田四中一模理) (14分)
由函数
确定数列
，
，若函数的反函数
能确定数列
，
，则称数列是数列的“反数列”。
（1）若函数
确定数列的反数列为，求的通项公式；
（2）对（1）中，不等式
对任意的正整数
恒成立，求实数
的范围；
（3）设
，若数列
的反数列为
，与的公共项组成的数列为
；求数列前项和
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，
=
．
、
及对应的特征向量
； 
． 
．设数列
满足
，
，数列
满足
，
…
，
；(Ⅱ)证明 
．
的前n项和为Sn=2n2，
为等比数列，且
，求数列
的前n项和Tn.