Question

已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围（　　）

• A．(0，

  2 3

  3

  )
• B．(0，

  3

  3

  )
• C．(

  2 3

  3

  ，1)
• D．(

  3

  3

  ，1)

Answer 1

分析：设出椭圆方程，根据其内接三角形的一个顶点是短轴的一个顶点，重心是一个焦点，利用向量求出已知顶点对边的中点，由该中点在椭圆内部列式求椭圆离心率的范围．

解答：解：不防设椭圆方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
再不妨设：B（0，b），三角形重心G（c，0），
延长BG至D，使|GD|=

|BG|

2

，
设D（x，y），则

BD

=(x，y-b)，

BF

=(c，-b)，
由

BF

=

2

3

BD

，得：(c，-b)=

2

3

(x，y-b)，
解得：x=

3

2

c，y=-

b

2

．
而D(

3

2

c，-

b

2

)是椭圆的内接三角形一边AC的中点，
所以，D点必在椭圆内部，
则

( 3 2 c)2

a2

+

(- b 2 )2

b2

＜1．
把b²=a²-c²代入上式整理得：

c2

a2

＜

1

3

．
即e＜

3

3

．
又因为椭圆离心率e∈（0，1），
所以，该椭圆离心率e的取值范围是(0，

3

3

)．
故选B．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆离心率的求法，求椭圆离心率范围的关键是利用椭圆的性质及平面几何知识，找到含有a和c的不等式．此题是中档题．