Question

已知{a_n}是等比数列，公比为q，设S_n=a₁+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ（其中n∈N^*，n＞2），且T_n=C_n+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ（其中n∈N^*，n＞2），如果数列有极限，则公比q的取值范围是（ ）
A．-3＜q≤1且q≠0
B．-3＜q＜1且q≠0
C．-1＜q≤1且q≠0
D．-1＜q＜1且q≠0

Answer 1

【答案】分析：利用二项式定理求出T_n，根据等比数列的通项公式可表示出a_n和S_n¹，进而求得Sn，利用数列有极限，推出 或 求得q的范围．
解答：解：由题意T_n=C_n+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ=2ⁿ．
a_n=a₁•q^n-1，S_n¹=2ⁿ，
Sn=a₁+a_1qC_n¹+a_1q²C_n²++a_1qⁿC_nⁿ
=a₁（1+qC_n¹+q²C_n²++qⁿC_nⁿ）
=a₁（1+q）ⁿ（q≠0）
∴．
如果 存在，则 或 ，
∴-2＜1+q＜2或q=1，
则-3＜q≤1且q≠0．
故选A．
点评：本题主要考查等比数列的求和．二项式定理的应用，注意等比数列的极限存在的条件，属中档题．