Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且3S_n+a_n=1，数列{b_n}满足bn+2=3lo

g

1 4

an，数列{c_n}满足c_n=b_n•a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可得数列{a_n}的通项公式；
（2）确定数列{c_n}的通项公式，再利用错位相减法，可求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵3S_n+a_n=1，∴n≥2时，3S_n-1+a_n-1=1，
两式相减可得3a_n+a_n-a_n-1=0，
∴a_n=

1

4

a_n-1，此数列是一个等比数列，又∵n=1时，a₁=

1

4

，
∴an=(

1

4

)n；
（2）∵bn+2=3lo

g

1 4

an，∴bn=3log

1

4

(

1

4

)n-2=3n-2，
∴cn=(3n-2)(

1

4

)n
∴Sn=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)3+…+(3n-5)×(

1

4

)n-1+(3n-2)×(

1

4

)n
两边同乘以公比得

1

4

Sn=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3+7×(

1

4

)4+…+(3n-5)×(

1

4

)n+(3n-2)×(

1

4

)n+1
两式相减，得

3

4

Sn=

1

4

+3[(

1

4

)2+(

1

4

)3+…+(

1

4

)n]-(3n-2)×(

1

4

)n+1=

1

2

-(3n+2)×(

1

4

)n+1
∴Sn=

2

3

-

(3n+2)

3

×(

1

4

)n．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法，考查学生的计算能力，属于基础题．