Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数f（1）=0，当x＞0时，有

xf′(x)-f(x)

x2

＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（　　）

• A、（1，+∞）
• B、（-1，0）
• C、（-1，0）∪（1，+∞）
• D、（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：先根据[

f(x)

x

]′=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0判断函数 

f(x)

x

的单调性，进而分别看x＞1和0＜x＜1时f（x）与0的关系．再根据函数的奇偶性判断-1＜x＜0和x＜-1时f（x）与0的关系，最后去x的并集即可得到答案．

解答： 解：[

f(x)

x

]′=

xf′(x)-f(x)

x2

＞0，即x＞0时 

f(x)

x

是增函数
当x＞1时，

f(x)

x

＞f（1）=0，f（x）＞0；
0＜x＜1时，

f(x)

x

＜f（1）=0，f（x）＜0．
又f（x）是奇函数，所以-1＜x＜0时，
f（x）=-f（-x）＞0；
x＜-1时f（x）=-f（-x）＜0．
则不等式f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）
故选：C

点评：本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用．在判断函数的单调性时，常可利用导函数来判断．