Question

已知各项为实数的数列{a_n}是等比数列，且a₁=2，a₅+a₇=8（a₂+a₄）．数列{b_n}满足：对任意正整数n，有a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)•2n+1+2．
（1）求数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；
（2）在数列{a_n}的任意相邻两项a_k与a_k+1之间插入k个（-1）^kb_k（k∈N^*）后，得到一个新的数列{c_n}．求数列{c_n}的前2012项之和．

Answer 1

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，由a₅+a₇=8（a₂+a₄），
得a1q4(1+q2)=8a₁q（1+q²），
又∵a₁=2，q≠0，1+q²＞0，∴q=2，
数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ，n∈N^*，
由题意有a₁b₁=（1-1）•2¹⁺¹+2=2，∴b₁=1，
当n≥2时，a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹-[（n-2）•2ⁿ+2]=n•2ⁿ，
∴b_n=n，．
故数列{b_n}的通项公式为b_n=n，n∈N^*．
（2）设数列{a_n}的第k项是数列{c_n}的第m_k项，即a_k=cmk，k∈N^*，
当k≥2时，m_k=k+[1+2+…+（k-1）]=

k(k+1)

2

，
m₆₂=

62×63

2

=1953，m₆₃=

63×64

2

=2016，
设S_n表示数列{c_n}的前n项之和，
则S₂₀₁₆=（a₁+a₂+…+a₆₃）+[（-1）¹•b₁+（-1）²•2b₂+…+（-1）⁶²•62•b₆₂]，
其中a₁+a₂+…+a₆₃=

2(1-263)

1-2

=2⁶⁴-2，
∵（-1）ⁿ•nb_n=（-1）ⁿ•n²，
∴[（-1）¹•b₁+（-1）²•2b₂+…+（-1）⁶²•62•b₆₂]=（-1）¹•1²+（-1）²•2²+…+（-1）⁶²•62²
=（2²-1²）+（4²-3²）+…+（62²-61²）=（4×1-1）+（4×2-1）+（4×3-1）+…+（4×31-1）
=4×

1+31

2

×31-31=1953，
∴S₂₀₁₆=（2⁶⁴-2）+1953=2⁶⁴+1951，
从而S₂₀₁₂=S₂₀₁₆-（C₂₀₁₃+C₂₀₁₄+C₂₀₁₅+C₂₀₁₆）=2⁶⁴+1951-3（-1）⁶²×b₆₂-a₆₃
=2⁶⁴+1951-3×62-2⁶³
=2⁶³+1765．
所以数列{c_n}的前2012项之和为2⁶³+1765．