【题目】已知函数,,.
(1)若,求函数的极值;
(2)若函数在上单调递减,求实数的取值范围;
(3)在函数的图象上是否存在不同的两点,使线段的中点的横坐标与直线的斜率之间满足?若存在,求出;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) 取得极大值,无极小值;(2) ;(3)详见解析.
【解析】
试题分析:(1)当时,求函数的导数以及导数的零点,并判断零点两侧的单调性,求得极值;(2)根据条件将问题转化为,当时恒成立,采用参变分离的方法,得到;(3)设点A,B的坐标,表示两点连线的斜率,以及中点处的导数,得到,可将此式变形为关于的函数,转化为判定函数是否有零点的问题.
试题解析:解:(1)的定义域为,,
故单调递增;单调递减,
时,取得极大值,无极小值.
(2),,
若函数在上单调递减,则对恒成立
∴,只需
∵时,,则,,
故,的取值范围为.
(3)假设存在,不妨设,
由得,整理得
令,,
在上单调递增,
,故, 不存在符合题意的两点.
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【题目】已知椭圆的中心是坐标原点,焦点在轴上,离心率为,又椭圆上任一点到两焦点的距离和为.过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于,两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)在线段上是否存在点,使得?若存在,求出的取值范围;若不存在,请
说明理由.
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【题目】统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量(升)关于行驶速度(千米/小时)的函数解析式可以表示为: ,已知甲、乙两地相距100千米.
(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
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【题目】设函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,是否存在整数,使不等式恒成立?若存在,求整数的值;若不存在,则说明理由;
(3)关于的方程在上恰有两个相异实根,求实数的取值范围.
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【题目】某校90名专职教师的年龄状况如下表:
年龄 | 35岁以下 | 35~50岁 | 50岁以上 |
人数 | 45 | 30 | 15 |
现拟采用分层抽样的方法从这90名专职教师中抽取6名老、中、青教师下乡支教一年.
(Ⅰ)求从表中三个年龄段中分别抽取的人数;
(Ⅱ)若从抽取的6个教师中再随机抽取2名到相对更加边远的乡村支教,计算这两名教师至少有一个年龄是35~50岁教师的概率。
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【题目】已知函数(,,).
(1)若的部分图像如图所示,求的解析式;
(2)在(1)的条件下,求最小正实数,使得函数的图象向左平移个单位后所对应的函数是偶函数;
(3)若在上是单调递增函数,求的最大值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为(为参数),以直角坐标系原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹;
(2)若直线的极坐标方程为,求直线被曲线截得的弦长.
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【题目】对于无穷数列和函数,若,则称是数列的母函数.
(Ⅰ)定义在上的函数满足:对任意,都有,且;又数列满足.
(1)求证: 是数列的母函数;
(2)求数列的前项和.
(Ⅱ)已知是数列的母函数,且.若数列的前项和为,求证: .
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