Question

18．函数y=$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$-$\sqrt{{x}^{2}+1}$的最大值是（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 10
• C． $\sqrt{10}$
• D． 0

Answer 1

分析 由配方可得函数表示x轴上的一点P（x，0）与点A（2，3）和B（0，1）的距离之差，连接AB延长交x轴于P，由|PA|-|PB|≤|AB|，运用两点的距离公式，计算即可得到最大值．

解答 解：函数y=$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$-$\sqrt{{x}^{2}+1}$
=$\sqrt{（x-2）^{2}+9}$-$\sqrt{{x}^{2}+1}$，
表示x轴上的一点P（x，0）与点A（2，3）和B（0，1）的距离之差，
如图，连接AB延长交x轴于P，
由k_AB=k_AP=1，可得P（-1，0）．
|PA|-|PB|≤|AB|，
由|AB|=$\sqrt{（2-0）^{2}+（3-1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
故最大值为2$\sqrt{2}$．
故选A．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用几何意义，结合三点共线知识，考查运算能力，属于中档题．