Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=24，S₁₁=0．
（1）求a_n；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）当n为何值时，S_n最大，并求S_n的最大值

Answer 1

解：（1）依题意有，
解之得，∴a_n=48-8n．
（2）由（1）知，a₁=40，a_n=48-8n，
∴S_n==-4n²+44n．
（3）由（2）有，S_n=-4n²+44n=-4+121，
故当n=5或n=6时，S_n最大，且S_n的最大值为120．
分析：（1）分别利用等差数列的通项公式及等差数列的前n项和的公式由a₃=24，S₁₁=0表示出关于首项和公差的两个关系式，联立即可求出首项与公差，即可得到数列的通项公式；
（2）根据（1）求出的首项与公差，利用等差数列的前n项和的公式即可表示出S_n；
（3）根据（2）求出的前n项和的公式得到S_n是关于n的开口向下的二次函数，根据n为正整数，利用二次函数求最值的方法求出S_n的最大值即可．
点评：此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式，灵活运用二次函数求最值的方法解决实际问题，是一道中档题．