Question

设{a_n}为公比不为1的等比数列，a₄=16，其前n项和为S_n，且5S₁、2S₂、S₃成等差数列．
（l）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

log2an•log2an+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和．是否存在正整数k，使得对于任意n∈N^*不等式T_n＞（

2

3

）^k恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）假设存在正整数k使得对于任意n∈N^*不等式Tn＞(

2

3

)k都成立，则(Tn)min＞(

2

3

)k，利用对数的运算性质、裂项可得b_n=

1

n

-

1

n+1

，利用“裂项求和”及其数列的单调性即可得出．

解答： 解：（1）设{a_n}为公比q不为1的等比数列，
∵5S₁、2S₂、S₃成等差数列，
∴4S₂=5S₁+S₃，即4(a1+a1q)=5a1+a1+a1q+a1q2，
∴q²-3q+2=0，
∵q≠1，∴q=2，
又∵a₄=16，即a1q3=8a1=16，解得a₁=2，
∴an=2n．
（2）假设存在正整数k使得对于任意n∈N^*不等式Tn＞(

2

3

)k都成立，
则(Tn)min＞(

2

3

)k，
又bn=

1

log22n•log22n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

，
显然T_n关于正整数n是单调递增的，
∴(Tn)min=T1=

1

2

，
∴

1

2

＞(

2

3

)k，解得k≥2．
∴存在正整数k，使得对于任意n∈N^*不等式Tn＞(

2

3

)k都成立，且正整数k的最小值为2．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”及其数列的单调性，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．