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已知M(0,-2),点A在x轴上,点B在y轴的正半轴,点P在直线AB上,且满足
AP
=
PB
MA
AP
=0.
(1)当A点在x轴上移动时,求动点P的轨迹C的方程;
(2)过(-2,0)的直线l与轨迹C交于E、F两点,又过E、F作轨迹C的切线l1、l2,当l1⊥l2时,求直线l的方程.
分析:(1)设P(x,y),A(xA,0),B(0,yB),yB>0.则
AP
=(x-xA,y),
PB
=(-x,yB-y).由
AP
=
PB
,得xA=2x,yB=2y.由
MA
AP
=0得到动点P的轨迹C的方程.
(2)设E(x1,y1),F(x2,y2),因为y′=2x,故两切线的斜率分别为2x1、2x2.由方程组
x2=y
y=k(x+2)
得x2-kx-2k=0,然后由根与系数的关系能够导出直线l的方程.
解答:解:(1)设P(x,y),A(xA,0),B(0,yB),yB>0.则
AP
=(x-xA,y),
PB
=(-x,yB-y).
AP
=
PB
,得
x-xA=-x
y=yB-y

即xA=2x,yB=2y.
MA
=(xA,2),
AP
=(x-xA,y),
MA
=(2x,2),
AP
=(-x,y).
MA
AP
=0得x2=y(y≥0).
(2)设E(x1,y1),F(x2,y2),
因为y′=2x,故两切线的斜率分别为2x1、2x2
由方程组
x2=y
y=k(x+2)

得x2-kx-2k=0,
x1+x2=k,x1x2=-2k.
当l1⊥l2时,4x1x2=-1,所以k=
1
8

所以,直线l的方程是y=
1
8
(x+2).
点评:本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要注意挖掘隐含条件,根据实际情况注意公式的灵活运用.
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