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已知抛物线C:y2=2px(p>0)上的点M(1,m)到其焦点F的距离为2
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)过点F的直线l与C交于A、B两点,O为坐标原点,以OA,OB为边,平行四边形OAPB,求点P的轨迹方程.
考点:抛物线的简单性质
专题:圆锥曲线的定义、性质与方程
分析:(1)由题意和抛物线的定义求出p,即可求出抛物线的方程;
(2)设P(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2),由(1)可得F(1,0)并设直线l的方程是x=my+1,代入抛物线方程消去x后,由韦达定理求出y1+y2和y1y2,由中点坐标公式求出AB的中点C的坐标,由平行四边形的性质知:AB的中点为C也是OP的中点,由中点坐标公式列出点P的参数方程,消去参数即可得点P的轨迹方程.
解答: 解:(1)因为点M(1,m)到焦点F的距离为2,
所以由抛物线的定义得:1+
p
2
=2,解得p=2,
则抛物线的方程是y2=4x;
(2)设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),
由(1)可得F(1,0),设直线l的方程是x=my+1,
x=my+1
y2=4x
得,y2-4my-4=0,
则y1+y2=4m,y1y2=-4,且△>0,
设AB的中点为C,且C(x0,y0),
则y0=
y1+y2
2
=2m,代入x=my+1得,x0=my0+1=2m2+1,
因为平行四边形OAPB的对角线互相平分,
所以AB的中点为C也是OP的中点,则
x
2
=2m2+1
y
2
=2m

消去m可得,y2=4(x-2),
则点P的轨迹方程是y2=4(x-2).
点评:本题考查抛物线的方程、定义,直线与抛物线的问题,轨迹方程的求法,注意韦达定理的合理运用,解题时要注意合理地进行等价转化.
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复数z=
i2+i3+i4
1-i
,则z的共轭复数
.
z
在复平面内对应的点(  )
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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若有穷数列a1,a2,a3,…,am(m是正整数)满足条件:ai=am-i+1(i=1,2,3,…,m),则称其为“对称数列”.例如,1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”.
(Ⅰ)若{bn}是25项的“对称数列”,且b13,b14,b15,…,b25是首项为1,公比为2的等比数列.求{bn}的所有项和S;
(Ⅱ)若{cn}是50项的“对称数列”,且c26,c27,c28,…,c50是首项为1,公差为2的等差数列.求{cn}的前n项和Sn,1≤n≤50,n∈N*

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设函数f(x)=log
2
x,若数列:2,f(x1),f(x2),…,f(xm),2m+4为等差数列,m∈N*
(Ⅰ)求数列{f(xn)}(1≤n≤m,m、n∈N*)的通项公式;
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在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,bc,且
a-b
c
=
sinB+sinC
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(1)求A的大小;
(2)若sinB=sinC,a=
3
,求△ABC的面积S.

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化简:
sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+
3
2
π)
cot(-α-π)sin(-π+α)

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已知集合P={x||x-1|<1},函数y=
x-1
的定义域为Q,则集合Q∩P=(  )
A、{x|0<x≤1}
B、{x|0<x<2}
C、{x|1<x≤2}
D、{x|1<x<2}

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已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,满足f(x)+f(y)=f(x•y).
(1)求证:f(x)-f(y)=f(
x
y
)

(2)若f(2)=-3,解不等式f(1)-f(
1
x-8
)≥-9.

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已知向量
a
•(
a
+2
b
)=0,|
a
|=|
b
|=1 且|
c
-
a
-2
b
|=1,则|
c
|的最大值为
 

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