Question

设椭圆C：＋y²＝1(a＞0)的两个焦点是F₁(－c，0)和F₂(c，0)(c＞0)，且椭圆C与圆x²＋y²＝c²有公共点．

(Ⅰ)求a的取值范围；

(Ⅱ)若椭圆上的点到焦点的最短距离为，求椭圆的方程；

(Ⅲ)对(2)中的椭圆C，直线l：y＝kx＋m(k≠0)与C交于不同的两点M、N，若线段MN的垂直平分线恒过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由已知，， 　　∴方程组有实数解，从而，故，所以，即的取值范围是． 　　(Ⅱ)设椭圆上的点到一个焦点的距离为， 　　则 　　()． 　　∵，∴当时，， 　　(可以直接用结论) 　　于是，，解得． 　　∴所求椭圆方程为． 　　(Ⅲ)由得(*) 　　∵直线与椭圆交于不同两点， 　　∴△＞0，即．① 　　设、，则、是方程(*)的两个实数解， 　　∴，∴线段的中点为，又∵线段的垂直平分线恒过点，∴， 　　即，即(k)　　② 　　由①，②得，，又由②得， 　　∴实数的取值范围是．