Question

如图，直角梯形OABC位于直线x=t（0≤t≤5）右侧的图形面积为f（t）．
（1）求函数f（t）的解析式并画出它的图象；
（2）求函数y=f（t）-2t-2的零点．

Answer 1

分析：（1）首先应该直线l的运动位置分析面积的表达形式，进而得到分段函数f（t）的解析式．
（2）求出函数的解析式，数形结合求得函数的图象和x轴交点的坐标，可得函数的零点．

解答：解：（1）由题意可知：当0＜t≤2时，f（t）=2+2×3-

1

2

t²=8-

1

2

 t²，
当2＜t≤5 时，f（t）=2（5-t）=10-2t；
所以f（x）=

8- 1 2 •t2 ，(0≤t≤2) 10-2t， (2＜t≤5)

．
（2）当0≤t≤2时，函数y=f（t）-2t-2=-

1

2

t²-2t+6；
当2＜t≤5时，函数y=f（t）-2t-2=8-4t．
画出函数的图象，如图所示：
由于函数的图象和x轴仅有一个交点（2，0），故函数仅有一个零点为x=2．

点评：本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题，函数的零点与方程根的关系，体现了分段函数的知识、分类讨论的思想以及函数图象的知识，属于基础题．