Question

已知函数f（x）=

1

x-a

，若存在φ∈（

π

4

，

π

2

），使f（sinφ）+f（cosφ）=0，则实数a的取值范围是

(

1

2

，

2

2

)

．

Answer 1

分析：利用f（sinφ）+f（cosφ）=0，可得2a=sinφ+cosφ，利用辅助角公式化简，结合角的范围，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：由题意，

1

sinφ-a

+

1

cosφ-a

=0
∴sinφ-a+cosφ-a=0
∴2a=sinφ+cosφ=

2

sin（φ+

π

4

）
∵φ∈（

π

4

，

π

2

），
∴φ+

π

4

∈（

π

2

，

3π

4

），
∴sin（φ+

π

4

）∈（

2

2

，1）
∴

2

sin（φ+

π

4

）∈（1，

2

）
∴2a∈（1，

2

）
∴a∈(

1

2

，

2

2

)
故答案为：(

1

2

，

2

2

)

点评：本题考查函数与方程的综合运用，考查三角函数知识，考查学生的计算能力，正确运用辅助角公式是关键．