【题目】如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，平面
平面ABCD，
为等腰直角三角形，
，
，点E，F分别为BC，PD的中点，直线PC与平面AEF交于点Q.
（1）若平面
平面
，求证：
.
（2）求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）根据线面平行的判定定理证得
平面
，然后根据线面平行的性质定理证得
.（2）先根据
四点共面，结合向量的线性运算，求得
，也即求得
位置.建立空间直角坐标系，利用直线
的方向向量和平面的法向量，求得线面角的正弦值.
（1）证明：因为
，
平面PC，
平面PCD，
所以平面PCD.又因为
平面PAB，平面
平面
，所以
.
（2）解：连接PE.
因为
，
所以
，
则
设
，则
.
因为A，E，Q，F四点共面，
所以
，解得
，则.
取AD的中点O，连接OC，OP，由题意可得OC，OD，OP两两垂直
如图，建立空间直角坐标系，
设
，则
，
，
，
.
所以
，
.
设平面PCD的一个法向量为
，
则
，令
，得
，即
，
所以
，
所以
.
高效智能课时作业系列答案
捷径训练检测卷系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
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【题目】已知
是圆锥的高，
是圆锥底面的直径，
是底面圆周上一点，
是
的中点，平面
和平面
将圆锥截去部分后的几何体如图所示.
（1）求证：平面
平面；
（2）若
，
，求二面角
的余弦值.
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【题目】如图，在四棱锥
中，底面
是直角梯形，侧棱
底面， 
垂直于
和
，
为棱
上的点，
，
.
（1）若为棱的中点，求证：
//平面
；
（2）当
时，求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值；
（3）在第（2）问条件下，设点
是线段
上的动点，
与平面所成的角为
，求当
取最大值时点的位置.
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【题目】如图所示，在四棱柱
中，侧棱
底面
，
平面
，
，
，
，
，
为棱
的中点.
（1）证明：
；
（2）求二面角
的平面角的正弦值；
（3）设点
在线段
上，且直线
与平面
所成角的正弦值为
，求线段的长.
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【题目】“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为10元，被随机分配为1元，2.5元，3元，3.5元，共4份，供甲、乙等4人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于6元的概率是__________.
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