Question

【题目】设函数f（x）=lnx﹣ax2+ax，a为正实数．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求证：f（ ）≤0；
（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=2时，f（x）=lnx﹣2x2+2x，f′（x）= ﹣2x+2，

∴f′（1）=1，

∵f（1）=0，

∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=x

（2）证明：f（ ）=﹣lna﹣ +1（a＞0），

令g（x）=﹣lnx﹣ +1（x＞0），则g′（x）= ，

∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，函数单调递增；x＞1时，g′（x）＜0，函数单调递减，

∴x=1时，函数取得极大值，即最大值，

∴g（x）≤g（1）=0，

∴f（ ）≤0；

（3）解：由题意可知，函数f（x）有且只有1个零点为（1，0），

则f′（1）=0，即1﹣2a+a=0

∴a=1

【解析】（1）求导数，确定切线的斜率，切点坐标，可得切线方程；（2）构造函数，确定函数的单调性与最值，即可证明结论；（3）由题意可知，函数f（x）有且只有1个零点为（1，0），则f′（1）=0，即可得出结论．