分析 由条件可得A为锐角,再利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得tanC=-2tanA,再根据tanB=-tan(A+C)=$\frac{1}{tanA+\frac{1}{tanA}}$,利用基本不等式求得它的最大值.
解答 解:△ABC中,由sinB+sinAcosC=0,可得C为钝角,故A为锐角,故tanA>0.
再根据sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=-sinAcosC,
∴2sinAcosC=-cosAsinC,可得tanC=-2tanA,
∴tanB=-tan(A+C)=$\frac{tanA+tanC}{tanAtanC-1}$=$\frac{-tanA}{-{2tan}^{2}A-1}$=$\frac{tanA}{{tan}^{2}A+1}$=$\frac{1}{tanA+\frac{1}{tanA}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{tanA•\frac{1}{tanA}}}$=$\frac{1}{2}$,
当且仅当tanA=1,即A=$\frac{π}{4}$时,tanB取得最大值为$\frac{1}{2}$.
点评 本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系、基本不等式的应用,属于基础题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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A. | f(x)=xcosx-sinx | B. | f(x)=xsinx | C. | f(x)=xcosx+sinx | D. | f(x)=xcosx |
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