Question

已知直线l：

x=-1-3t y=2+4t

与双曲线（y-2）²-x²=1相交于A、B两点，P点坐标P（-1，2）．求：
（1）|PA|•|PB|的值；  
（2）弦长|AB|； 
（3）弦AB中点M与点P的距离．

Answer 1

分析：（1）将直线l的 参数方程转化为普通方程，与双曲线方程（y-2）²-x²=1联立，设出A、B两点的坐标，利用韦达定理可求|PA|•|PB|的值；
（2）知A、B两点的坐标，利用两点间的距离公式可求弦长|AB|； 
（3）由（1）知A、B两点的坐标，P点坐标P（-1，2），从而可求弦AB中点M与点P的距离．

解答：解：（1）∵直线l的参数方程为：

x=-1-3t y=2+4t

，消去t转化为普通方程为：

x+1

-3

=

y-2

4

，
整理得4x+3y-2=0，
由

(y-2)2-x2=1 4x+3y-2=0

，
消去y得：7x²+32x+7=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理得：x₁+x₂=-

32

7

，x₁x₂=1；
∵P（-1，2），
∴|PA|²=(x1+1)2+(y1-2)2=(x1+1)2+(

-4-4x1

3

)2=(x1+1)2+

16x12+32x1+16

9

=

25x12+50x1+25

9

，
∴|PA|=

5

3

|x₁+1|，
同理可得|PB|=

5

3

|x₂+1|，
∴|PA|•|PB|=

25

9

|x₁x₂+（x₁+x₂）+1|
=

25

9

|1-

32

7

+1|
=

25

9

×

18

7

=

50

7

．
（2）∵|AB|²=(x2-x1)2+(y2-y1)2
=(x2-x1)2[1+(

y2-y1

x2-x1

)2]
=（1+

16

9

）[(x2+x1)2-4x₁x₂]
=

25

9

（

1024

49

-4）
=

25

9

×

46

7

×

18

7

=

2300

49

，
∴|AB|=

10

7

23

．
（3）∵弦AB中点M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
而

x1+x2

2

=-

16

7

，y₁=

2-4x1

3

，y₂=

2-4x2

3

，
∴

y1+y2

2

=

2-2(x2+x1)

3

=

2-2×(- 32 7 )

3

=

26

7

，
∴M（-

16

7

，

26

7

），
∴|MP|=

( 16 7 -1)2+( 26 7 -2)2

=

15

7

．

点评：本题考查直线的参数方程，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，突出考查韦达定理与弦长公式的应用，考查分析、转化与运算能力，属于难题．