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    等边三角形ABC的边长为3，点D，、E分别是边AB、AC上的点，且满足
    AD
    DB
    =
    CE
    EA
    =
    1
    2
    ．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1-DE-B成直二面角，连接A1B、A1C．

    （1）求证：A1D⊥平面BCED；
    （2）求A1E与平面A1BC所成角的正弦值．
    （3）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．
    考点：与二面角有关的立体几何综合题
    专题：空间位置关系与距离,空间角
    分析：（1）由已知得A1D⊥DE，BD⊥DE，A1D⊥BD，由此能证明A1D⊥平面BCED．
    （2）以D为空间直角坐标系的原点，以DB、DE、DA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出A1E与平面A1BC所成角的正弦值．
    （3）假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，利用向量法能推导出此时PB=
    5
    2
    ．
    解答： （1）证明：由题知在图1中，在△ADE中，AD=1，AE=2，
    则DE2=AD2+AE2-2AD•AE•cosA=3，
    即得：DE=
    		3
    ，所以AE2=AD2+DE2，
    即得∠ADE=90°，
    则在图2中，有A1D⊥DE，BD⊥DE，
    二面角A1-DE-B的平面角∠A1DB=90°，
    即得A1D⊥BD，
    ∵A1D⊥BD，A1D⊥DE，且BD，DE?平面BCDE，
    BD∩DE=D，∴A1D⊥平面BCED．
    （2）解：由（1）知：A1D⊥BD，A1D⊥DE，BD⊥DE，
    所以以D为空间直角坐标系的原点，
    以DB、DE、DA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz．
    则D（0，0，0），A1（0，0，1），E（0，
    		3
    ，0），B（2，0，0），C（
    1
    2
    ，
    3
    		3
    2
    ，0    ），
    ∴
    BC
    =(-
    3
    2
    ，
    3
    		3
    2
    ，0)    ，
    BA1
    =（-2，0，1），
    A1E
    =（0，
    		3
    ，-1），
    令平面A1BC的法向量为
    n
    =(x，y，z)    ，
    由
    n
    •
    BC
    =-
    3
    2
    x+
    3
    		3
    2
    y=0
    n
    •
    BA1
    =-2x+z=0
    ，得
    n
    =（1，
    1
    		3
    ，2），
    记A1E与平面A1BC所成角为θ，
    则sinθ=|cos＜
    n
    ，
    A1E
    ＞|=|
    0+1-2
    		4
    •
    		1+4+
    1
    3
    |=
    		3
    8
    ．
    ∴A1E与平面A1BC所成角的正弦值为
    		3
    8
    ．
    （3）解：假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°．
    令
    BP
    =λ
    BC
    ，
    则
    PA1
    =
    BA1
    -
    BP
    =（
    3
    2
    λ-2，-
    3
    		3
    2
    λ，1    ），
    而平面A1BD的一个法向量为
    m
    =（0，1，0），
    则由|
    PA1
    •
    m
    |
    m
    |•|
    PA1
    |
    |=
    		3
    2
    ，解得λ=
    5
    6
    ，
    ∴在线段BC上存在点P，使得直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB=
    5
    2
    ．
    点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查满足条件遥点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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