Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）满足条件：（1）f（-1+x）=f（-1-x）；（2）函数在y轴上的截距为1，且f（x+1）-f（x）=x+．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[t，t+1]，f（x）的最小值为h（t），请写出h（t）的表达式；
（3）若不等式在t∈[-2，2]时恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意可得对称轴-=-1、且c=1、且a（x+1）²+b（x+1）+c-[ax²+bx+c]=x+，
解得 a=，且 b=1，且c=1，故有．
（2）由x∈[t，t+1]，f（x）的对称轴为x=-1，且f（x）的最小值为h（t），
当t+1＜-1，即t＜-2时，函数f（x）在区间[t，t+1]上是减函数，h（t）=f（t+1）=t²+2t+．
当 t≤-1≤t+1，即-2≤t≤-1时，h（t）=f（-1）=，
当t＞-1时，函数f（x）在区间[t，t+1]上是增函数，h（t）=f（t）=t²+t+1．
综上可得，．
（3）由不等式在t∈[-2，2]时恒成立，可得 f（x）＞tx-1在t∈[-2，2]时恒成立，
即 m（x）=x²+（1-t）x+2＞0 在t∈[-2，2]时恒成立．
根据二次函数的图象和性质可得，解得-1＜t＜3，
故t的范围为（-1，3）．
分析：（1）由题意可得对称轴-=-1、且c=1、且a（x+1）²+b（x+1）+c-[ax²+bx+c]=x+，解得a、b、c的值，可得函数f（x）的解析式．
（2）由f（x）的对称轴为x=-1，分当t+1＜-1、当 t≤-1≤t+1、当t＞-1三种情况，分别利用二次函数的性质，求得函数f（x）在区间[t，t+1]上的最小值h（t）=f（t）的解析式，综上可得结论．
（3）由不等式在t∈[-2，2]时恒成立，可得 f（x）＞tx-1在t∈[-2，2]时恒成立，即 m（x）=x²+（1-t）x+2＞0 在t∈[-2，2]时恒成立．根据二次函数的图象和性质可得，由此解得t的范围．
点评：本题主要考查复合函数的单调性，指数不等式的解法，二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于中档题