Question

9．已知x₁、x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使两实根之积等于1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
（2）求使$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2的值为整数的实数k的整数值．

Answer 1

分析 （1）若存在，则x₁x₂=$\frac{k+1}{4k}$=1，从而化方程为x²-x+1=0，从而判断；
（2）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{4k≠0}\\{△=（4k）^{2}-4×4k×（k+1）≥0}\end{array}\right.$，从而可得k＜0，x₁+x₂=1，x₁x₂=$\frac{k+1}{4k}$；从而化简$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2=$\frac{4k}{k+1}$-4；从而判断求解．

解答 解：（1）若存在，则x₁x₂=$\frac{k+1}{4k}$=1，
解得，k=$\frac{1}{3}$，
此时方程可化为x²-x+1=0，方程无解；
故不存在；
（2）由题意得，
$\left\{\begin{array}{l}{4k≠0}\\{△=（4k）^{2}-4×4k×（k+1）≥0}\end{array}\right.$，
解得，k＜0；
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=$\frac{k+1}{4k}$，
$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$-2
=$\frac{1}{\frac{k+1}{4k}}$-4=$\frac{4k}{k+1}$-4；
又∵k＜0，
∴k+1=-1，-2，-4；
故k=-2，-3，-5．

点评 本题考查了二次函数与二次方程的关系应用及化简运算．