Question

已知△ABC中，A（0，1），B（2，4）C（6，1），P为平面上任意一点，M、N分别使

PM

=

1

2

(

PA

+

PB

)，

PN

=

1

3

(

PA

+

PB

+

PC

)，给出下列相关命题：①

MN

∥

BC

；②直线MN的方程为3x+10y-28=0；③直线MN必过△ABC的外心；④向量λ(

AB

+

AC

)(λ≠0)所在射线必过N点，上述四个命题中正确的是

②

．（将正确的选项全填上）．

Answer 1

分析：设P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由题设条件求出M（1，

5

2

）．N（

8

3

，2）．由此能够得到

MN

与

BC

不平行；直线MN的方程为3x+10y-28=0；直线MN不过△ABC的外心；向量λ(

AB

+

AC

)(λ≠0)所在射线不一定过N点．

解答：解：设P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵A（0，1），B（2，4）C（6，1），
∴

PM

=(x1-x，y1-y)，

PA

=(-x，1-y)，

PB

=(2-x，4-y)，

PC

=(6-x，1-y)，

PN

=(x2-x，y2-y)，
∵

PM

=

1

2

(

PA

+

PB

)，
∴（x₁-x，y₁-y）=

1

2

(2-2x，5-2y)=（1-x，

5

2

-y），
∴M（1，

5

2

）．
∵

PN

=

1

3

(

PA

+

PB

+

PC

)，
∴（x2-x，y2-y ）=

1

3

（8-3x，6-3y）=（

8

3

-x，2-y），
∴N（

8

3

，2）．
∴

MN

=(

5

3

，-

1

2

)，
∵

BC

=(4，-3)，

5

3

×(-3)-(-

1

2

)×4=-3≠0，
∴

MN

与

BC

不平行，
故①不正确；
∵M（1，

5

2

），N（

8

3

，2），
∴直线MN的方程为

y- 5 2

x-1

=

2- 5 2

8 3 -1

，
整理，得3x+10y-28=0，
故②正确；
∵A（0，1），B（2，4）C（6，1），
∴kAB=

3

2

，线段AB的中点（1，

5

2

），k_AC=0，线段AC的中点（3，1），
∴线段AB的中垂线为：y-

5

2

=-

2

3

(x-1)，即4x+6y-19=0，
线段AC的中垂线为x=3，
解方程组

4x+6y-19=0 x=3

，得△ABC的外心为（3，

7

6

），
把（3，

7

6

）代入3x+10y-28=0，不成立，
∴直线MN不过△ABC的外心，故③不正确；
∵A（0，1），B（2，4）C（6，1），
∴λ（

AB

+

AC

）=λ[（2，3）+（6，0）]=λ（8，3）=（8λ，3λ），
∴向量λ(

AB

+

AC

)(λ≠0)所在射线不一定过N点，故④不正确．
故答案为：②．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．