Question

3．设二项式${（{x-\frac{a}{{\sqrt{x}}}}）^6}$（a＞0）的展开式中的x³系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是2．

Answer 1

分析 首先写出二项展开式的通项，化简后按照要求确定字母的指数，得到特征项．

解答 解：二项式${（{x-\frac{a}{{\sqrt{x}}}}）^6}$（a＞0）的展开式，通项为${C}_{6}^{k}{x}^{6-k}（-\frac{a}{\sqrt{x}}）^{k}={C}_{6}^{k}（-a）^{k}{x}^{6-\frac{3}{2}k}$，
令6-$\frac{3}{2}k$=3，得到k=2，所以x³系数为A=${C}_{6}^{2}{a}^{2}$=15a²；
令6-$\frac{3}{2}$k=0，k=4，所以常数项为B=${C}_{6}^{4}（-a）^{4}$=15a⁴，
又B=4A，所以15a⁴=4×15a²，a＞0，解得a=2；
故答案为：2

点评 本题考查了二项展开式的特征项的求法，关键是正确写出通项．