Question

（2012•安徽模拟）已知函数f(x)=

e

x

-ln(x+1)-1，x∈[0，+∞)．
（1）判断函数f（x）的单调性并求出函数f（x）的最小值；
（2）若x∈[3，+∞）时，不等式

e

x-3

＞ln(x+1)-lnm恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数单调性与导数的关系即可判断函数的单调性，再依据单调性即可求得函数的最小值．
（2）不等式

e

x-3

＞ln(x+1)-lnm恒成立，即g（x）=e^x-3-ln（x+1）+lnm＞0恒成立，由此转化为函数g（x）的最小值大于0即可解决．

解答：解：（1）f′（x）=ex-

1

x+1

．当x≥0时，e^x≥1，

1

x+1

≤1，
所以当x≥0时，f′（x）≥0．
∴函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，
∴当x=0时，函数f（x）取最小值为0．
（2）设g（x）=e^x-3-ln（x+1）+lnm，且x∈[3，+∞），
则g′（x）=ex-3-

1

x+1

．由x∈[3，+∞）可知e^x-3≥1且

1

x+1

＜1，
所以g′（x）=ex-3-

1

x+1

＞0，
所以函数g（x）在[3，+∞）上为增函数，则g（x）≥g（3）=1-ln4+lnm．
由题意，不等式

e

x-3

＞ln(x+1)-lnm恒成立，
即g（x）＞0恒成立，所以g（3）=1-ln4+lnm＞0，解得m＞

4

e

．
故m的取值范围为（

4

e

，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题，属中等难度．不等式恒成立问题往往转化为函数的最值问题解决．解决该类问题时要注意考虑函数的定义域．