Question

数列{a_n}满足：a₁=1，且对任意的m，n∈N^*都有：a_m+n=a_m+a_n+mn，则

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2011

=（　　）

• A、

  2010

  2011

• B、

  2011

  1006

• C、

  2011

  2012

• D、

  2010

  1006

Answer 1

分析：由a_n+m=a_m+a_n+mn对任意的m，n可得a_n+1=a_n+a₁+n=1+n，即a_n+1-a_n=1+n，利用叠加法可求a_n，然后在利用裂项求和的方法进行求解即可

解答：解：因为a_n+m=a_m+a_n+mn对任意的m，n∈N^*都成立
所以a_n+1=a_n+a₁+n=1+n
即a_n+1-a_n=1+n
所以a₂-a₁=2
   a₃-a₂=3
…
   a_n-a_n-1=n
把上面n-1个式子相加可得，a_n-a₁=2+3+4+…+n
所以an=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

从而有

1

an

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)
所以

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=2(1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

则

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2011

=

2×2011

2012

=

2011

1006

故选：B

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，解题的关键是根据已知a_n+m=a_m+a_n+mn对任意的m，n都成立构造出a_n+1-a_n=1+n，从而构造出符合利用叠加法求通项的形式，解决本题的关键二是求出数列的通项后，还要能利用裂项目求和的方法进行求和，本题是一道构思巧妙的试题．