Question

设函数，其中向量，，x∈R
（1）求使f（x）取得最大值时，向量的夹角；
（2）若A={x|f（x）≥1}，B={x|-π≤x≤π}，求A∩B；
（3）若x∈{A，B，C}，且A，B，C是某个锐角三角形的三个内角，求证；存在x₀∈{A，B，C}，使得f（x₀）≤1．

Answer 1

解：∵
∴f（x）==
（1）当
即，即时，f（x）取得最大值
此时
∴=
∴
（2）由f（x）≥1，得
∴
∴
∴
又B={x|-π≤x≤π}
∴A∩B=
证明：（3）∵x∈{A，B，C}，且A，B，C是某个锐角三角形的三个内角，且A+B+C=π
设A、B、C中的最小角x₀∈{A，B，C}
∴
∴
∴
∴存在x₀∈{A，B，C}，使得f（x₀）≤1
分析：（1）先表示函数f（x）的解析式并化简，找到f（x）取最大值时x的值，进而确定两个向量的坐标，再求夹角即可
（2）先求集合A，再给k赋值，与B取交集即可
（3）先假设存在这样的角x₀，然后再求出x₀的范围，把问题转化为求函数的最大值问题，即可得证
点评：本题考查和角公式的应用、正弦型函数的性质和向量的数量积，注意和角公式和夹角公式的应用．属简单题