精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
设n∈N*,n>1,用数学归纳法证明:1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
n
分析:直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式,(1)验证n=2时不等式成立;(2)假设当n=k(k≥2)时成立,利用放缩法证明n=k+1时,不等式也成立.
解答:证明:记f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
.(n∈N*,n>1)…(2分)
(1)当n=2时,f(2)=1+
1
2
2
,不等式成立;             …(4分)
(2)假设n=k(n∈N*,n≥2)时,不等式成立,…(6分)
即f(k)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
k
k

则当n=k+1时,有f(k+1)=f(k)+
1
k+1
k
+
1
k+1
=
k(k+1)
+1
k+1
k+1
k+1
=
k+1
   …(10分)
∴当n=k+1时,不等式也成立.…(12分)
综合(1),(2)知,原不等式对任意的n∈N*,(n>1)都成立.…(14分)
点评:本题是中档题,考查数学归纳法的证明步骤,注意不等式的证明方法,放缩法的应用,考查逻辑推理能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=1-e-x-
x
ax+1
,(a∈R).
(1)若a=1,证明:当x>-1时,f(x)≥0;
(2)若f(x)≤0在[0,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设n∈N且n>1求证:(n-1)!≥e2n-2-
n
k=2
4
k

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

对于n∈N*(n≥2),定义一个如下数阵:Ann=
a11a12a1n
a21a22a2n
an1an2ann
,其中对任意的1≤i≤n,1≤j≤n,当i能整除j时,aij=1;当i不能整除j时,aij=0.设t(j)=
n
i=1
aij=a1j+a2j+…+anj

(Ⅰ)当n=6时,试写出数阵A66并计算
6
j=1
t(j)

(Ⅱ)若[x]表示不超过x的最大整数,求证:
n
j=1
t(j)
=
n
i=1
n
i
 ]

(Ⅲ)若f(n)=
1
n
n
j=1
t(j)
g(n)=
n
1
1
x
dx
,求证:g(n)-1<f(n)<g(n)+1.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:0110 期末题 题型:证明题

设n∈N*,n>1,用数学归纳法证明:

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2010-2011学年江苏省无锡市宜兴市高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

设n∈N*,n>1,用数学归纳法证明:1+++

查看答案和解析>>

同步练习册答案