Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，A₁在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB₁与底面ABC所成角的正弦值等于

2

3

．

Answer 1

分析：先求出点A₁到底面的距离A₁D的长度，即知点B₁到底面的距离B₁E的长度，再求出AB₁的长度，在直角三角形AEB₁中，即可求得结论．

解答：解：由题意不妨令棱长为2，如图，A₁在底面ABC内的射影为△ABC的中心，故DA=

2 3

3

，
由勾股定理得A₁D=

4- 4 3

=

2 6

3

过B₁作B₁E⊥平面ABC，则∠B₁AE为AB₁与底面ABC所成角，且B₁E=

2 6

3

，
如图作A₁S⊥AB于中点S，∴A₁S=

3

，
∴AB₁=

3+9

=2

3

∴AB₁与底面ABC所成角的正弦值sin∠B₁AE=

2 6 3

2 3

=

2

3

．
故答案为：

2

3

点评：本题考查线面角，考查学生的计算能力，作出线面角是关键．