Question

5．设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，并满足f（x，y）=f（x）+f（y），f（4）=1
（1）求f（1）的值；
（2）若存在实数m，使f（m）=2，求m的值
（3）如果f（x²-4x-5）＜2求x的范围．

Answer 1

分析 （1）采用赋值法，令x=y=1，代入f（xy）=f（x）+f（y）即可；
（2）因为f（x）是（0，+∞）上的增函数，所以至多存在一个m的值，使得f（m）=2，然后利用f（xy）=f（x）+f（y），f（4）=1，采用赋值法求出m的值；
（3）由（2）得f（16）=2，及y=f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，可得f（x²-4x-5）＜2⇒0＜x²-4x-5＜16，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）令x=y=1，代入f（xy）=f（x）+f（y）得f（1）=f（1）+f（1），所以f（1）=0；
（2）根据f（xy）=f（x）+f（y），f（4）=1，
2=1+1=f（4）+f（4）=f（16）=f（m），又因为y=f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
所以m=16．
即存在实数m=16，使得f（m）=2．
（3）由（2）得f（16）=2．∴f（x²-4x-5）＜2⇒f（x²-4x-5）＜f（16），
∵y=f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴0＜x²-4x-5＜16⇒-3＜x＜-1或5＜x＜7，
x的范围：{x|-3＜x＜-1或5＜x＜7}，

点评 本题是一道抽象函数问题，关键是用好赋值法来求解，要注意定义域，属于中档题．