Question

已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，f′(x)+

f(x)

x

＞0，则关于x的函数g(x)=f(x)+

1

x

的零点个数为（　　）

A．1

B．2

C．0

D．0或2

Answer 1

分析：由题意可得，x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的．当x＞0时，利用导数的
知识可得xg（x）在（0，+∞）上是递增函数，xg（x）＞1恒成立，可得xg（x）在（0，+∞）上无零点．
同理可得xg（x）在（-∞，0）上也无零点，从而得出结论．

解答：解：由于函数g(x)=f(x)+

1

x

，可得x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的，
故我们考虑 xg（x）=xf（x）+1 的零点．
由于当x≠0时，f′(x)+

f(x)

x

＞0，
①当x＞0时，（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（ f′（x）+

f(x)

x

）＞0，
 所以，在（0，+∞）上，函数x•g（x）单调递增函数．
又∵

lim

x→0

[xf（x）+1]=1，∴在（0，+∞）上，函数 x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，
因此，在（0，+∞）上，函数 x•g（x）=xf（x）+1 没有零点．
②当x＜0时，由于（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（ f′（x）+

f(x)

x

）＜0，
故函数 x•g（x）在（-∞，0）上是递减函数，函数 x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，
故函数 x•g（x）在（-∞，0）上无零点．
综上可得，函g(x)=f(x)+

1

x

在R上的零点个数为0，
故选C．

点评：本题考查了根的存在性及根的个数判断，导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论、转化的思想，
属于中档题．