Question

已知集合P={1,2,3,4,5,6}，当AP时，记S（A）是集合A中所有元素之和，求所有S（A）的总和S.

Answer 1

解：方法一：由AP知A是P的子集，共有2⁶=64个.显然S（）=0，

S（P）=1+2+3+4+5+6=21.

记A_1，j表示单元素集，共有6个（j=1，2，3，4，5，6），于是所有单元素集的元素和S₁=1+2+3+4+5+6（元素1，2，3，4，5，6各有1个）；

记A_2，j表示含2个元素的集合，共有15个，且元素1，2，3，4，5，6各在5个集合中出现，于是所有含2个元素的集合的元素和

S₂=5×（1+2+3+4+5+6）；

同理，所有含3个元素的集合（共有20个）的元素和S₃=10×（1+2+3+4+5+6）（元素1，2，3，4，5，6各在10个集合中出现）；

所有含4个元素的集合（共有15个）的元素和S₄=10×（1+2+3+4+5+6）（元素1，2，3，4，5，6各在10个集合中出现）；

所有含5个元素的集合（共有6个）的元素和S₅=5×（1+2+3+4+5+6）（元素1，2，3，4，5，6各在5个集合中出现）.

由上可得，S=S（）+S（P）+S₁+S₂+S₃+S₄+S₅=672.

方法二：在集合P的子集中，含有元素1的集合共有2⁵个（要得到这样的集合，只需在{2,3,4,5,6}的子集中加入元素1）.同理，含有元素2的集合也有2⁵个，…，即在所有的S（A）的总和中，1，2，3，4，5，6的每个元素都被使用了2⁵次，

故S=32×（1+2+3+4+5+6）=672.