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已知向量
a
=(
3
sinx,cosx+sinx),
b
=(2cosx,cosx-sinx),函数f(x)=
a
b
,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=
3
,f(C)=1,求△ABC面积的最大值.
考点:三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
专题:三角函数的图像与性质,解三角形
分析:(1)f(x)=
a
b
=2sin(2x+
π
6
),由三角函数的图象与性质即可求出函数f(x)的最小正周期;
(2)f(C)=2sin(2C+
π
6
)=1,从而可求C=
π
3
,再由余弦定理可求出ab≤3,故有△ABC面积S=
1
2
absinC=
1
2
×
3
2
ab≤
3
4
×3=
3
3
4
解答: 解:(1)f(x)=
a
b

=2
3
sinxcosx+cos2x-sin2x
=
3
sin2x+cos2x
=2(
3
2
sin2x+
1
2
cos2x)
=2sin(2x+
π
6

故,函数f(x)的最小正周期T=
ω
=π.
(2)f(C)=2sin(2C+
π
6
)=1,
sin(2C+
π
6
)=
1
2

2C+
π
6
=
π
6
6

∵C是内角,
∴C=
π
3

余弦定理cosC=
a2+b2-c2
2ab
得:
ab=a2+b2-3,
∵a2+b2≥2ab,
∴ab+3≥2ab,
ab≤3,
△ABC面积S=
1
2
absinC=
1
2
×
3
2
ab≤
3
4
×3=
3
3
4

△ABC面积最大值Smax=
3
3
4
点评:本题主要考察了平面向量数量积的坐标表示,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的图象与性质,三角形面积公式的综合应用等,属于中档题.
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1
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1
6
n3

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2
)∪(-
2
,-1)

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