精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,|AB|=3,点M满足2=.
(1)求动点M的轨迹E的方程.
(2)若曲线E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分,求实数k的取值范围.
(1) +y2=1   (2) k≤-或k≥.
(1)设M(x,y),A(x0,0),B(0,y0),
+=9,=(x-x0,y),=(-x,y0-y).
由2=,得解得
代入+=9,
化简得点M的轨迹方程为+y2=1.
(2)由题意知k≠0,
假设存在弦CD被直线l垂直平分,设直线CD的方程为y=-x+b,
消去y化简得
(k2+4)x2-8kbx+4k2(b2-1)=0,
Δ=(-8kb)2-4(k2+4)·4k2(b2-1)
=-16k2(k2b2-k2-4)>0,
k2b2-k2-4<0,
设C(x1,y1),D(x2,y2),CD中点P(xp,yp),
则x1+x2=,
xp==,
yp=-xp+b=-·+b=,
又yp=k(-1),
∴k(-1)=,得b=,
代入k2b2-k2-4<0,得-(k2+4)<0,
解得k2<5,∴-<k<.
∴当曲线E的所有弦都不能被直线l:y=k(x-1)垂直平分时,k的取值范围是k≤-或k≥.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图所示,已知圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的右侧),且|MN|=3,已知椭圆D:+=1(a>b>0)的焦距等于2|ON|,且过点(,).

(1)求圆C和椭圆D的方程;
(2)若过点M斜率不为零的直线l与椭圆D交于A、B两点,求证:直线NA与直线NB的倾斜角互补.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点(-1,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)已知点Q(,0),动直线l过点F,且直线l与椭圆C交于A,B两点,证明:·为定值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C的中心在原点,焦点y在轴上,焦距为,且过点M
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点的直线l交椭圆C于A、B两点,且N恰好为AB中点,能否在椭圆C上找到点D,使△ABD的面积最大?若能,求出点D的坐标;若不能,请说明理由。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

椭圆的焦点,点为其上的动点,当∠为钝角时,点横坐标的取值范围是__________ .

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

设P为椭圆+=1(a>b>0)上的任意一点,F1为椭圆的一个焦点,则|PF1|的取值范围为     .

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

直线y=kx+1,当k变化时,此直线被椭圆+y2=1截得的最大弦长是(  )
A.4B.
C.2D.不能确定

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知曲线C上的动点M(x,y),向量a=(x+2,y)和b=(x-2,y)满足|a|+|b|=6,则曲线C的离心率是(  )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图所示,已知椭圆C:+y2=1,在椭圆C上任取不同两点A,B,点A关于x轴的对称点为A′,当A,B变化时,如果直线AB经过x轴上的定点T(1,0),则直线A′B经过x轴上的定点为________.

查看答案和解析>>

同步练习册答案