Question

记函数f(x)的定义域为D，若存在x₀∈D，使得f(x)=x成立，则称(x₀，x₀)为函数f(x)图象上的“稳定点”.

(1)是否存在实数a，使函数f(x)= 的图象上有且仅有两个相异的稳定点?若存在，求出范围；若不存在，请说明理由.

(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，求证:函数必有奇数个稳定点.

Answer 1

(1)解:设函数f(x)= 的图象上有且仅有两个相异的稳定点，

则f(x)= =x，

即有两个相异的根，

所以

解之，得a＞5或a＜1，a≠-.

因此存在a∈（-∞，-）∪（-，1）∪（5，+∞）使得函数f（x）=的图象上有且仅有两个相异的稳定点.

(2)证明:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.

因此(0，0)是f(x)的一个稳定点.

假设函数还有稳定点(x₀，x₀)，

即f(x₀)=x₀，则必定有f(-x₀)=-x₀.

这说明(-x₀，-x₀)也是函数的稳定点.

综上所述，奇函数的稳定点除原点外，都是成对出现，因此其稳定点的个数是奇数.