Question

（2013•盐城三模）如图，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，D，E分别为PB，PC中点．
（1）若PA=2，求直线AE与PB所成角的余弦值；
（2）若平面ADE⊥平面PBC，求PA的长．

Answer 1

分析：（1）以A为坐标原点，过A且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴，AP为z轴建立如图所示直角坐标系．取AC的中点F，连接BF则BF⊥AC．根据题中数据可得A、B、C、P、E各点的坐标，从而得到向量

PB

、

AE

的坐标，再用空间向量的夹角公式加以计算，结合异面直线所成的角的定义即可得到直线AE与PB所成角的余弦值；
（2）设PA=a，可得

PB

、

PC

含有字母a的坐标形式，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，解出平面PBC的一个法向量为

n1

=（

3

3

a，a，2），同理得到平面ADE的一个法向量

n2

=（-

3

3

a，-a，2），由平面ADE⊥平面PBC可得

n1

•

n2

=-

1

3

a²-a²+4=0，解之得a=

3

，由此即可得到线段PA的长．

解答：解：（1）如图，取AC的中点F，连接BF，则BF⊥AC．以A为坐标原点，过A且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示
则A（0，0，0），B（

3

，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1）
∴

PB

=（

3

，1，-2），

AE

=（0，1，1）
设直线AE、PB所成的角为θ，则cosθ=|

PB • AE

| PB |•| AE |

|=

1

4

即直线AE与PB所成角的余弦值为

1

4

；
（2）设PA=a，则P（0，0，a），可得

PB

=（

3

，1，-a），

PC

=（0，2，-a）
设平面PBC的法向量为

n1

=（x，y，z），则

n1

•

PB

=0且

n1

•

PC

=0
∴

3 x+y-az=0 2y-az=0

，令z=2，得y=a，x=

3

3

．
可得

n1

=（

3

3

a，a，2）是平面PBC的一个法向量
∵D、E分别为PB、PC中点，∴D（

3

2

，

1

2

，

a

2

），E（0，1，

a

2

）
因此，

AD

=（

3

2

，

1

2

，

a

2

），

AE

=（0，1，

a

2

），
类似求平面PBC法向量

n1

的方法，可得平面ADE的一个法向量

n2

=（-

3

3

a，-a，2）
∵平面ADE⊥平面PBC，
∴

n1

⊥

n2

，可得

n1

•

n2

=-

1

3

a²-a²+4=0，解之得a=

3

因此，线段PA的长等于

3

．

点评：本题给出侧棱PA与底面△ABC垂直的三棱锥，求异面直线所成的角并在面面垂直的情况下求线段PA的长，着重考查了利用空间向量研究线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．