Question

12．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c²=（a-b）²+6，△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，则C=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 先化简c²=（a-b）²+6得c²=a²+b²-2ab+6，由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，两式结合得abcosC=ab-3，由题意和三角形的面积公式列出方程，由平方关系进行化简求出ab、cosC的值，由C的范围和特殊角的余弦值求出C．

解答 解：由题意得，c²=（a-b）²+6，
则c²=a²+b²-2ab+6，
由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
代入上式可得，abcosC=ab-3，①
因为△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
所以$\frac{1}{2}absinC=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，则absinC=3$\sqrt{3}$，②
①²+②²得，（ab）²=（ab-3）²+27，
化简得，ab=6，代入①得cosC=$\frac{1}{2}$，
由0＜C＜π得C=$\frac{π}{3}$，
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查余弦定理，平方关系，三角形的面积公式，以及化简、变形能力，属于中档题．