Question

【题目】设n≥3，n∈N* ， 在集合{1，2，…，n}的所有元素个数为2的子集中，把每个子集的较大元素相加，和记为a，较小元素之和记为b．
（1）当n=3时，求a，b的值；
（2）求证：对任意的n≥3，n∈N* ， 为定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=3时，集合{1，2，3}的所有元素个数为2的子集

为{1，2}，{1，3}，{2，3}，

即有a=2+3+3=8，b=1+1+2=4

（2）证明：对任意的n≥3，n∈N*， 为定值 ．

运用数学归纳法证明．

当n=3时，由（1）可得a=8，b=4， 为 ，成立；

假设n=k时， 为定值 ，

则n=k+1时，

a'=a+（k+1）k，

b'=b+（1+2+3+…+k）=b+ k（1+k），

由a=2b，

可得a'=2b+k（1+k）=2b'，

则n=k+1时，结论仍然成立．

故对任意的n≥3，n∈N*， 为定值

【解析】（1）当n=3时一一写出所有符合题意的子集；（2）利用数学归纳法即可证明.