【题目】在平面直角坐标系中,直线的倾斜角为,且经过点,以坐标原点O为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线,从原点O作射线交于点M,点N为射线OM上的点,满足| ,记点N的轨迹为曲线C.
(1)①设动点,记是直线的向上方向的单位方向向量,且,以t为参数求直线的参数方程
②求曲线C的极坐标方程并化为直角坐标方程;
(2)设直线与曲线C交于P,Q两点,求的值
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【题目】第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.它是中国政府坚定支持贸易自由化和经济全球化,主动向世界开放市场的重要举措,有利于促进世界各国加强经贸交流合作,促进全球贸易和世界经济增长,推动开放世界经济发展.某机构为了解人们对“进博会”的关注度是否与性别有关,随机抽取了100名不同性别的人员(男、女各50名)进行问卷调查,并得到如下列联表:
男性 | 女性 | 合计 | |
关注度极高 | 35 | 14 | 49 |
关注度一般 | 15 | 36 | 51 |
合计 | 50 | 50 | 100 |
(1)根据列联表,能否有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关;
(2)若从关注度极高的被调查者中按男女分层抽样的方法抽取7人了解他们从事的职业情况,再从7人中任意选取2人谈谈关注“进博会”的原因,求这2人中至少有一名女性的概率.
附:.
参考数据:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系中,把到定点,距离之积等于()的点的轨迹称为双纽线C.已知点是双纽线C上一点,下列说法中正确的有( )
①双纽线C关于原点O中心对称; ②;
③双纽线C上满足的点P有两个; ④的最大值为.
A.①②B.①②④C.②③④D.①③
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【题目】已知曲线的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数).
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)在(1)中,设曲线经过伸缩变换得到曲线,设曲线上任意一点为,当点到直线的距离取最大值时,求此时点的直角坐标.
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【题目】已知直线:(为参数),曲线:(为参数).
(1)设与相交于两点,求;
(2)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点P是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最大值.
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【题目】如图,已知椭圆:()的离心率为,并以抛物线:的焦点为上焦点.直线:()交抛物线于,两点,分别以,为切点作抛物线的切线,两切线相交于点,又点恰好在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的最大值;
(3)求证:点恒在的外接圆内.
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【题目】《九章算术》中有一分鹿问题:“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士,凡五人,共猎得五鹿.欲以爵次分之,问各得几何.”在这个问题中,大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员,现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组(一组2人,一组3人),派去两地执行公务,则大夫、不更恰好在同一组的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有一个“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其中央.出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思为“今有水池1丈见方(即尺),芦苇生长在水的中央,长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引,恰巧与水岸齐接(如图所示).试问水深、芦苇的长度各是多少?假设,现有下述四个结论:
①水深为12尺;②芦苇长为15尺;③;④.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①③B.①③④C.①④D.②③④
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【题目】已知椭圆的离心率为,且过点,直线交椭圆于不同的两点,设线段的中点为.
(1)求椭圆的方程;
(2)当的面积为(其中为坐标原点)且时,试问:在坐标平面上是否存在两个定点,使得当直线运动时,为定值?若存在,求出点的坐标和定值;若不存在,请说明理由.
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