Question

设偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式

f(x)+f(-x)

x

＜0的解集为（　　）

A．（-∞，-1）∪（0，1）

B．（-1，0）∪（1，+∞）

C．（-∞，-1）∪（1，+∞）

D．（-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析：根据偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，确定函数f（x）在（-∞，0）上为减函数，从而可解不等式．

解答：解：∵f（x）是偶函数，
∴

f(x)+f(x)

x

＜0
∴x＞0时，f（x）＜0
∵f（1）=0，∴f（x）＜f（1），
∵函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴0＜x＜1
∵f（1）=0，∴f（-1）=f（1）=0
∵x＜0时，f（x）＞0，∴f（x）＞f（-1）
∵偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴函数f（x）在（-∞，0）上为减函数，
∴x＜-1
综上，不等式

f(x)+f(-x)

x

＜0的解集为（-∞，-1）∪（0，1），
故选A．

点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．