Question

已知奇函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，且-π≤φ≤0）的定义域为R，其图象C关于直线x=对称，又f（x）在区间[0，]上是单调函数．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）将图象C向右平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象．
①化简，并求值：+4f（10°）；
②若关于x的方程f（x）=g（x）+m在区间[0，]上有唯一实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）由f（x）=cos（ωx+φ）是R上的奇函数，得f（0）=cosφ=0．
又-π≤φ≤0，所以φ=-．…（1分）
所以f（x）=cos（ωx-）=sinωx．…（2分）
由y=f（x）的图象关于直线x=对称，且ω＞0，得
ω•=kπ+（k∈N），解得ω=4k+2（k∈N）．①…（3分）
又f（x）在区间上是单调函数，所以0≤ω•x≤ω•≤，
解得ω≤3．②…（4分）
由①②，得ω=2．所以f（x）=sin2x．…（5分）
（2）g（x）=f（x-）=sin（2x-）=-cos2x．…（6分）
①原式=
=
= …（7分）
=
= …（8分）
= …（9分）
=
=．…（10分）
②m=f（x）-g（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）．…（11分）
易知函数y=sin（2x+）在区间上单调递增，在区间上单调递减．…（12分）
又当x=0时，f（x）-g（x）=1；
当x=时，f（x）-g（x）=；
当x=时，f（x）-g（x）=．…（13分）
故所求实数m的取值范围是m=或1≤m＜．…（14分）
分析：（1）利用函数是奇函数，结合φ的范围，求出φ，利用函数的对称轴，求出ω，即可求函数f（x）的表达式；
（2）将图象C向右平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象即可得到表达式，
①推出+4f（10°），利用二倍角公式，化简整理可求结果；
②通过方程f（x）=g（x）+m，表示出m，通过函数的单调性，以及在区间[0，]上有唯一实根，求出实数m的取值范围．
点评：本题是中档题，考查三角函数的解析式的求法，三角函数的化简求值，函数的单调性，对称性的应用，考查计算能力，转化思想．