Question

（本小题满分14分）已知函数，是常数．
（Ⅰ） 证明曲线在点的切线经过轴上一个定点；
（Ⅱ） 若对恒成立，求的取值范围；
（参考公式：）
（Ⅲ）讨论函数的单调区间．

Answer 1

（1）；（2）；（3）单调增区间是和，单调减区间是.

(1)利用导数求出斜率，然后写出点斜式方程,从而可看出当x=0时，切线经过y轴上的定点(0,-8).
(II)由得……5分，
对，，所以
,然后再构造函数，利用导数研究其最小值即可.
(III)
=,然后再对和两种情况进行讨论。
解：⑴，，……1分  ……2分，
曲线在点的切线为……3分，
当时，由切线方程得，所以切线经过轴上的定点……4分．
⑵由得……5分，
对，，所以
……6分，
设，则……7分，
在区间单调递减……8分，
所以，的取值范围为……9分．
⑶函数的定义域为，
=……10分．
若，则，在定义域上单调增加……11分；
若，解方程得，……12分，
，当或时，；
当时，……13分，
所以的单调增区间是和，单调减区间是（区间无论包含端点、均可，但要前后一致）……14分