Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，E、F是AA₁、AB的中点．
（Ⅰ）证明：直线EE₁∥平面FCC₁；
（Ⅱ）求二面角B-FC₁-C的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）构造DM⊥CD，则以DM为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系，欲证直线EE₁∥平面FCC₁，只需证明

EE1

垂直于平面FCC₁的法向量即可．其中

EE1

的坐标由点E、E₁的坐标易得，而平面FCC₁的法向量需设出后根据其与

CF

、

CC1

垂直得到．
（Ⅱ）在（Ⅰ）所建立的空间直角坐标系中，平面FCC₁的法向量已求得，而平面BFC₁的法向量可设出后由其与

FB

、

FC1

垂直得到，此时求出两法向量的夹角余弦值，则易得二面角B-FC₁-C的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：因为AB=4，BC=CD=2，F是棱AB的中点，
所以BF=BC=CF，△BCF为正三角形，
因为ABCD为等腰梯形，所以∠BAD=∠ABC=60°，
取AF的中点M，并连接DM，则DM⊥AB，所以DM⊥CD，
以DM为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（

3

，-1，0），F（

3

，1，0），C（0，2，0），
C₁（0，2，2），E（

3

2

，-

1

2

，0），E₁（

3

，-1，1），
所以

EE1

=(

3

2

，-

1

2

，1)，

CF

=(

3

，-1，0)，

CC1

=(0，0，2)，

FC1

=(-

3

，1，2)
设平面CC₁F的法向量为

n

=(x，y，z)
则

n • CF =0 n • CC1 =0

所以

3 x-y=0 z=0

取

n

=(1，

3

，0)，
则

n

•

EE1

=

3

2

×1-

1

2

×

3

+1×0=0，
所以

n

⊥

EE1

，所以直线EE₁∥平面FCC₁．

（Ⅱ）解：

FB

=(0，2，0)，
设平面BFC₁的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，
则

n1 • FB =0 n1 • FC1 =0

所以

y1=0 - 3 x1+y1+2z1=0

，
取

n1

=(2，0，

3

)，
则

n

•

n1

=2×1-

3

×0+0×

3

=2，|

n

|=

1+( 3 )2

=2，
|

n1

|=

22+0+( 3 )2

=

7

，
所以cos?

n

，

n1

?=

n • n1

| n || n1|

=

2

2× 7

=

7

7

，
由图可知二面角B-FC₁-C为锐角，所以二面角B-FC₁-C的余弦值为

7

7

．

点评：本题主要考查向量法解决空间问题．