Question

（1）如图，D是Rt△ABC的斜边AB上的中点，E和F分别在边AC和BC上，且ED⊥FD，求证：EF²=AE²+BF²（EF²表示线段EF长度的平方）（尝试用向量法证明）
（2）已知函数f（x）=x³-3x图象上一点P（1，-2），过点P作直线l与y=f（x）图象相切，但切点异于点P，求直线l的方程．

Answer 1

解：（1）连接EF，取EF的中点为G，
又D是Rt△ABC的斜边AB上的中点，
∴=++，=++，
两式相加，注意到，，
得，又在直角三角形EFD中，，
故，即
又AC⊥BC，展开上式即EF²=AE²+BF²
得证． （6分）
（其他方法也给分，向量的代数运算要引起学生的关注）
（2）设为（x₀，y₀）函数f（x）=x³-3x图象上任一点，
易得f′（x）=3x²-3，则，
故（x₀，y₀）处切线为
又知过P（1，-2）点，代入解方程得：x₀=1（舍），
故所求直线的斜率，从而切线方程为：9x+4y-1=0（12分）
分析：（1）连接EF，取EF的中点为G，根据向量的加法法则得，又，从而有，又AC⊥BC，展开上式即得证．
（2）由已知可得斜率函数为f′（x）=3x²-3，进而求出所过点切线的斜率，设另一切点为（x₀，y₀），代入点斜式公式，求出该点切线方程，再由条件计算．
点评：本题主要考查的是向量在几何中的应用、直线的点斜式方程的求解、导数的几何意义等，属于基础题．