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如图,ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,∠BAD= 60°。

(1)求证:平面PBD⊥平面PAC;

(2)求点A到平面PBD的距离;

(3)求二面角B—PC—A的大小。(14分)

 

 

【答案】

(1)略(2)(3)

【解析】(1) 证:…4分

(2) 解:连结PO,过A作AE⊥PO,平面PAC平面PBD=PO

∴AE⊥平面PBD,AE就是所求的距离,计算得……8分

(3) 解:过O作OF⊥PC,连BF,∵OB⊥平面PAC,由三垂线定理,PC⊥BF,

∴∠OFB为二面角B-PC-A的平面角,经计算得

,所求二面角大小为…14分

解法二:如图,以A原点,AB为轴正方向,建立空间直角坐标系,则

过D作DE⊥AB于E,则DE=ADsin60°=, AE=ADcos60°=1,∴

(1)设是平面PBD的法向量,则

,∴,∴

是平面PAC的法向量,则,又,∴

 
,∴, ∵,∴平面PBD⊥平面PAC

(2)所求距离为

(3)设是平面PBC的法向量,则

,∴,∴

,即二面角B-PC-A的大小为 .

 

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