Question

已知函数f（x）=mx²+3（m-2）x-1在区间（-∞，3]上单调减函数，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：首先对参数进行分类讨论①m=0②m≠0，进一步对二次函数的对称轴和单调区间进行分类讨论，最后通过几种情况的分析取集合的并集，求得相应的结果．

解答： 解：①当m=0时，函数f（x）=-6x-1
根据一次函数的单调性得：
函数在区间（-∞，3]上单调减函数．
②当m＞0时，函数f（x）=mx²+3（m-2）x-1的对称轴方程为：x=

3(2-m)

2m

，
由于函数在（-∞，3]上单调减函数，
所以：

3(2-m)

2m

≥3，
解得：0＜m≤

2

3

．
③当m＜0时，函数f（x）=mx²+3（m-2）x-1的对称轴方程为：x=

3(2-m)

2m

，
由于函数在（-∞，3]上单调减函数，
而对于开口方向向下的抛物线在（-∞，3]不可能是递减函数．
所以m∈Φ．
综上所述：m的取值范围为：0≤m≤

2

3

．

点评：本题考查的知识要点：二次函数的对称轴与单调区间的关系，分类讨论思想的应用．属于基础题型．