Question

10．若a₁，a₂，a₃，a₄∈R⁺，有以下不等式成立：$\frac{{{a_1}+{a_2}}}{2}≥\sqrt{{a_1}{a_2}}$，$\frac{{{a_1}+{a_2}+{a_3}}}{3}≥\root{3}{{{a_1}{a_2}{a_3}}}$，$\frac{{{a_1}+{a_2}+{a_3}+{a_4}}}{4}≥\root{4}{{{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}}}$．由此推测成立的不等式是$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}≥\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$（当且仅当a₁=a₂=…=a_n时取等号）．（要注明成立的条件）

Answer 1

分析 根据所给的几个不等式归纳出左边、右边的规律，根据此规律可归纳出第n个不等式．

解答 解：由题意得，$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{2}≥\sqrt{{a}_{1}{a}_{2}}$，$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}}{3}≥\root{3}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$，
$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}}{4}≥\root{4}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}{a}_{4}}$，…，
观察可得：每个不等式的左边是n个数的平均数，右边n次根号下n个数之积，
∴可归纳出第n个不等式：$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}≥\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$，
故答案为：$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}≥\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$（当且仅当a₁=a₂=…=a_n时取等号）．

点评 本题考查归纳推理，难点是根据能够找出式子之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，是基础题．