【题目】设命题p:函数f(x)=lg(﹣mx2+2x﹣m)的定义域为R;
命题q:函数g(x)=4lnx+ ﹣(m﹣1)x的图象上任意一点处的切线斜率恒大于2,
若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数m的取值范围.
【答案】解:若p为真命题,则﹣mx2+2x﹣m>0恒成立,即mx2﹣2x+m<0恒成立.
当m=0时,不等式为﹣2x<0,解得x>0,显然不成立;
当m≠0时, ,解得m<﹣1.
∴若p为真命题,则m<﹣1.
若q为真命题,则当x>﹣1时, , ,
∵ ,当且仅当x=1时取等号,∴m<3
∵“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,∴p真q假或p假q真.
若p真q假,则 ,∴m∈;若p假q真,则 ,∴﹣1≤m<3.
综上所述,实数m得取值范围为m∈[﹣1,3).
【解析】若命题p∧q为假,p∨q为真,命题p,q一真一假,进而可得满足条件的m的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解复合命题的真假的相关知识,掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反;“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,其他情况时为假;“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时为真,以及对命题的真假判断与应用的理解,了解两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
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【题目】已知函数f(x),若在定义域内存在x0 , 使得f(﹣x0)=﹣f(x0)成立,则称x0为函数f(x)的局部对称点.
(1)若a,b,c∈R,证明函数f(x)=ax3+bx2+cx﹣b必有局部对称点;
(2)是否存在常数m,使得函数f(x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3有局部对称点?若存在,求出m的范围,否则说明理由.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 且满足2Sn+an=1;递增的等差数列{bn}满足b1=1,b3=﹣4.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若cn是an , bn的等比中项,求数列{}的前n项和Tn;
(3)若c≤t2+2t﹣2对一切正整数n恒成立,求实数t的取值范围.
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【题目】如图,已知AD为圆O的直径,直线BA与圆O相切于点A,直线OB与弦AC垂直并相交于点G,与弧AC相交于M,连接DC,AB=10,AC=12.
(1)求证:BADC=GCAD;
(2)求BM.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆的方程为.
(1)求的普通方程和的直角坐标方程;
(2)当时,与相交于,两点,求的最小值.
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【题目】对于实数a、b、c,有下列命题:①若a>b,则ac<bc;②若ac2>bc2,则a>b;③若a<b<0,则a2>ab>b2;④若c>a>b>0,则;⑤若a>b,,则a>0,b<0.其中正确的是________.(填写序号)
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【题目】已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数q的取值范围;
(2)是否存在常数t(t≥0),当x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间D,且区间D的长度为12-t(视区间[a,b]的长度为b-a).
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【题目】已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l的方程为ρsin(θ+ )=2 .
(1)求曲线C在极坐标系中的方程;
(2)求直线l被曲线C截得的弦长.
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【题目】已知数列{an}满足an+2= ,且a1=1,a2=2.
(1)求a3﹣a6+a9﹣a12+a15的值;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn , 当Sn>2017时,求n的最小值.
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