Question

【题目】如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD= ，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．
（Ⅰ） 证明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ） 若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角（锐角）的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）在图1中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD= ， ∴BE⊥AC，
即在图2中，BE⊥OA1 ， BE⊥OC，
则BE⊥平面A1OC；
∵CD∥BE，
∴CD⊥平面A1OC．
解：（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，
由（Ⅰ）知BE⊥OA1 ， BE⊥OC，
∴∠A1OC为二面角A1﹣BE﹣C的平面角，
∴∠A1OC= ，
如图，建立空间坐标系，

∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ED
∴B（ ，0，0），E（﹣ ，0，0），A1（0，0， ），C（0， ，0），
=（﹣ ， ，0）， =（0， ，﹣ ）， = =（﹣ ，0，0），
设平面A1BC的法向量为 =（x，y，z），平面A1CD的法向量为 =（a，b，c），
则 ，得 ，令x=1，则y=1，z=1，即 =（1，1，1），
由 ，得 ，取b=1，得 =（0，1，1），
则cos＜ ， ＞= = = ，
∴平面A1BC与平面A1CD夹角（锐角）的余弦值为 ．
【解析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)．